变更抚养权起诉后，具体立案时间是由当地人民法院根据实际情况来判断的，一般情况下需要等待几天至几周的时间。
首先，变更抚养权案件需要提交相关材料和证据，例如申请书、抚养证明、亲子鉴定等。这些材料需要审核，如果缺少或者不符合法律要求，可能需要经过几次返还或者补充材料，这些都会影响到立案时间。
其次，在审核材料和证据的过程中，法院也需要开庭听取当事人的陈述和辩论，并进行相关调查和审查。而在法院系统繁忙的情况下，立案可能会被拖延。
最后，不同地区的法院受理案件的数量也是有差别的，处理速度快慢也因此而异。一些大城市的法院案件量较大，立案时间可能更加延迟。
总之，变更抚养权案件的立案时间并没有固定时间，需要根据特定的情况而定。若担心案件受理时间太长，当事人可以咨询律师或者向法院咨询进展情况。
