未婚孩子抚养权归属的部门主要是民政部门和法院。在我国法律中，未婚父母之间孩子的抚养权争议，一般可以通过民政部门或者法院来解决。具体到不同的情况，可以选择不同的途径。
一般来说，如果未婚父母之间没有较大的争议和纠纷，可以通过民政部门来协商解决孩子的抚养问题，达成互相满意的协议。而如果未婚父母之间的纠纷较大，无法协商解决，则可以选择通过法院诉讼来解决抚养权的问题。
如果父母中有一方是外籍人士，则需要进行额外的处理。依据对方国家的法律情况，可以对未婚孩子的抚养权做出一些特殊的规定。另外，如果孩子的父母在国内没有户籍，但是孩子出生在我国境内，也需要进行相应的处理，这时候，孩子的抚养权通常归属民政部门管理。
总的来说，未婚孩子的抚养权归属的部门主要是民政部门和法院，具体应该如何处理问题，要根据父母之间的实际情况来决定，让孩子能够得到更好地照顾和成长。
