在抚养权案件中败诉后，当事人可以向上级法院提起上诉，请求对原判决进行再审或改判。
在中国法律体系中，一般来说，案件经过初审后可以进行上诉，当事人可以向更高级别的法院提出上诉申请。例如，一般的民事案件，当事人可以向省级高级法院或最高法院提出上诉的申请。而对于抚养权案件，当事人也可以进行上诉。
然而，需要注意的是，上诉并不是一定会成功的。上诉需要充分证明原判决存在的错误或违法情况，否则上诉申请将被驳回。因此，在上诉前，当事人需要充分准备证据材料，并咨询专业律师帮助制定上诉的方案。
总之，在抚养权案件败诉后，当事人仍有权进行上诉，但需要充分分析取证、调整策略并寻求专业的法律帮助。
