继母对成年继子一般没有法定的抚养权。因为抚养权一般是指对未成年子女的养育权和监护权，而成年子女已经达到法定年龄，已经具备完全民事行为能力，父母的养育义务也已经终止。
但是，继母与成年继子之间的关系不只限于法律上的父母关系，还有家庭关系和感情关系。继母与成年继子之间可以有亲情和信任的情感纽带，在这种情况下继母可能会为成年继子提供经济和生活上的支持，例如支付他的学费、生活费用等。在这种情况下，继母可以类似于赡养老人的普通民事行为，自愿地承担对成年继子的抚养责任。
如果继母对成年继子提供了经济上的支持，可以在真实、合法的事实基础上，签订一份协议，约定什么时候、什么方式提供经济帮助，以及双方的权利和义务，以确保经济上的支持合法、公正、保证权益。这样即使在出现争议的情况下，双方也可以依据协议中所约定的内容进行协商和解决。
需要注意的是，即使继母和成年继子之间有亲情和信任的情感纽带，他们之间的财产关系和其他法律关系还是要受到法律的约束和限制，如继承、房产分割等等。所以，为了彼此之间的利益，双方应该依据法律规定的合法手续解决合法争议，维护各自的权利和义务。
