非婚抚养权诉讼是指未结婚的父母中，一方为孩子申请抚养权的诉讼。在这种情况下，需要在法庭上提出的诉讼主张包括以下内容：
首先，需要在申请书中清楚地说明诉求：希望法院判决申请人具有孩子的非婚抚养权，即确定孩子的生活、教育、医疗护理等方面需要由申请人负责。
其次，需要提供证据证明自己能够为孩子提供良好的生活环境、教育、医疗等方面的支持和照顾。这些证据可以包括收入证明、住房证明、照片、亲友证言等。
如果对方不同意申请人获得孩子的非婚抚养权，需要在庭审中进行相关证据和证言的辩论。在这种情况下，申请人需要准备好辩论材料，针对对方提出的质疑进行有效回应，坚持自己的立场，并向法院提供充足的证据证明自己确实适合担任孩子的非婚抚养人。
最后，需要说明自己所希望对孩子的非婚抚养权约定的具体内容，例如定期接送孩子去学校、参与孩子的教育、支付孩子的生活费用等。如果对方提出了不同意见，需要在庭审中进行讨论。最终，法庭将根据证据和辩论的结果作出判决，确定孩子的非婚抚养权归属。
