变更抚养权需要根据当事人居住地的具体情况，一般情况下需要在当地的民政局进行办理。在南京市，变更抚养权的申请需要在南京市儿童福利院进行申请。
具体申请流程如下：
1. 提交申请：申请人需携带身份证件和相关证明材料，前往南京市儿童福利院的办公室提交申请。
2. 调查核实：儿童福利院工作人员会对申请人的家庭情况进行调查核实，确保变更抚养权符合法律法规要求。
3. 协议签订：如果当事人达成一致意见，可以签署协议书，确认变更抚养关系。
4. 法院审批：若申请人没有达成一致意见，或者已婚配偶不同意变更抚养关系，需要通过法院审判来解决。
5. 生效变更：法院审批通过后，儿童福利院工作人员会重新核定抚养费用，并将变更后的抚养关系生效。
需要注意的是，变更抚养权是一项比较复杂和敏感的问题，如果申请人不熟悉法律法规，最好咨询专业律师或法务人员，以免发生纠纷和不必要的麻烦。
