变更抚养权是一个涉及到家庭法律制度的问题，因此，不同国家和地区可能会有不同的管辖机构负责该问题的处理。在中国，一般是由民政部门或法院进行处理。
首先，家事案件包括了离婚、抚养权变更等问题，由法院来处理。在法院处理时，需要应用相关的民法和家庭法规，根据双方当事人及证人证言、调查取证等方面的情况，作出判决。如果一方当事人不服判决，可以向上级法院提起上诉。因此，在涉及到抚养权变更的案件中，法院是一个非常重要的部门。
其次，民政部门也起着很重要的作用。因为抚养权变更的实施可能涉及到子女的户口迁移，如果面临“拖延迁移”的困境，民政部门就可通过开展帮散户工作、走家访等形式引导家庭主动迁户，从而顺利实现抚养权变更。
总的来说，在中国，抚养权变更是一个涉及到多个部门的复杂问题。要想实现顺利变更抚养权，需要当事人及其家庭成员积极协助，同时各部门之间要配合得当，才能尽快达成更好的结果。
