深圳市法律抚养权归属的主管部门是深圳市民政局。
依照《中华人民共和国抚养费暂行条例》的规定，抚养费由父母双方根据孩子的年龄、生活需要、收入等条件协商确定，如无法协商一致，则由人民法院依法判决。在判决过程中，法院通常会通过对父母收入、财产、生活状况等方面进行综合考虑，以确定抚养费的具体金额和支付方式。
因此，在深圳市，抚养费归属于民政局管理的范畴，但是具体的抚养费金额和支付方式要通过人民法院的判决才能确定。同时，深圳市民政局还负责处理相关抚养权纠纷的调解工作，并提供相关法律咨询服务。
除此之外，深圳市公安局、市教育局等机构也可以参与抚养权的管理和监督工作。例如，在未经对方父母同意或法院判决的情况下，将子女带离家庭的行为被认定为“拐卖罪”，这时公安机关则可以对相关人员进行追诉和惩处。
综上所述，深圳市民政局是抚养费管理的主管部门，但抚养权的管理和监督工作需要多个部门共同参与，以确保孩子的合法权益得到有效保障。
