抚养权纠纷属于民事诉讼范畴，在中国大陆，主要由人民法院管辖。具体来说，依据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，抚养权纠纷的管辖应由被告户籍所在地的基层人民法院管辖。
同时，抚养权纠纷也可由离婚案件所在地的人民法院管辖。在离婚案件中，抚养权常常是一项需要解决的问题，由于离婚案件本身的性质，抚养权纠纷可以同时由离婚案件所在地的人民法院来裁决，方便双方当事人进行诉讼。
此外，当孩子被绑架或被非法带走时，涉及到的抚养权纠纷案件可以由事件发生地或被孩子救助或被找到的地方人民法院管辖。
需要注意的是，当涉及到其他事项时，比如涉及到抚养费的计算等问题，可能需要借助专业机构和专家进行评估，如此的话，人民法院可能会依托相关的机构和专家的报告进行裁决。
总之，在中国大陆，抚养权纠纷应由人民法院管辖，具体由基层人民法院、离婚案件所在地人民法院、事件发生地或孩子被救助或被找到的地方人民法院等来处理。
