起诉抚养权需要支付一定的诉讼费和律师费用。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，诉讼费应当按照案件的案值或者请求的大小来计算，同时律师费取决于委托律师的收费标准。
具体来说，在起诉抚养权案件中，诉讼费的计算一般是按照抚养费的金额来确定的。比如，如果抚养费的金额为每月1000元，那么根据不同地区的诉讼费标准，所需支付的诉讼费可能在千元左右。如果案件涉及到多项争议，需要进行多次开庭，诉讼费可能就会更高。
此外，如果当事人委托律师代理诉讼，还需要支付相应的律师费用。律师费的计算一般是按照律师事务所收费标准来确定的，不同律师事务所的收费标准可能不同。律师在代理诉讼过程中需要提供法律意见、起草起诉书、出庭辩护等服务，收费标准也会因此而有所不同。
综上所述，起诉抚养权需要支付的费用是比较实际的，需要考虑案件的具体情况和地区的不同调整，因此在起诉之前应该咨询律所或者律师，了解具体费用情况。
