首先，养父在打官司时想要争取抚养权，需要澄清的是，养父与养子之间的关系是否存在法律认可的父子关系。
如果养父和养子没有经过正式的收养程序，那么其关系并不能被法律认可为父子关系。在这种情况下，养父就不存在具有抚养权的基础条件。
如果养父和养子存在正式的收养关系，那么就可以考虑养父是否具有抚养权。根据我国《婚姻法》第37条规定，“收养关系成立后，收养人代替父母行使监护权和抚养权，并与收养人建立亲子关系。”
因此，在一定程度上，养父作为收养人是具有抚养权的，可以代替养子的父母行使监护权和抚养权。但这并不意味着养父可以随意剥夺养子的母亲的监护权和抚养权。母亲仍然有保护和维护自己和孩子的权利，如果出现关于抚养权的争议，法院会从养子的最大利益出发做出判断。
总的来说，养父是否具有抚养权主要取决于收养关系是否合法、母亲是否放弃或丧失抚养权等因素的综合考虑。在法律程序中，养父需要提交相关证明材料，包括收养证明、养育证明、教育证明等，以证明自己具有抚养权的基础条件。
