未婚生子的抚养权问题是一个相对复杂和敏感的法律问题。通常来说，未婚生子的抚养权一般都是由母亲来行使，因为她是生育并抚养孩子的自然人。然而，如果父亲有足够的证据证明自己适宜获得抚养权，那么他也可以寻求法院认可。以下是未婚生子如何证明抚养权的一些常规情况：
1.出生证明：未婚生子出生的医院或诊所一般都会提供出生证明。这个证明文件说明了孩子的姓名、出生日期和父母姓名等关键信息。这个出生证明是证明孩子存在和父母关系的主要依据。
2.监护权评估：如果争议双方都想争取孩子的抚养权，法院有可能会要求进行监护权评估。这个评估一般由专门的心理学家、医生或社工来进行。他们会采访争议双方，了解孩子的情况、争议双方的生活、工作、经济状况等方面的情况，并最终发表一个报告，说明孩子最适合和哪一个父母生活在一起。
3.社会工作者的证词：社会工作者可以证明父母的状况和精神健康是否适合担任孩子的监护人。一些社工部门有专门的工作人员来处理未婚生子的案例，他们会对争议双方进行访谈、调查，并对其进行审查。
4.父亲的证据：如果父亲认为自己适合担任孩子的监护人，他需要提交证据来证实自己的能力。这可能包括过去照顾孩子的记录、收入证明、住房条件等方面的证据，以及与孩子的日常交往记录等。
总之，未婚生子的抚养权问题需要依靠一定的证据来支持。母亲通常是孩子的自然抚养人，但是如果父亲有足够的证据证明自己适宜获得抚养权，或者对于孩子的利益有更好的保障，那么法院也会给予他们考虑和决定的权利。无论如何，需要考虑的始终是孩子的财产权和权益，以及学校、医疗、营养等方面的问题。
