根据我所了解到的法律规定，上门女婿在婚姻关系中仅仅是婚姻关系的当事人之一，和其他普通子女一样没有特殊的权利或优先权。因此，他没有专门的权利来争取抚养权。
但是，在法律程序中，理论上来说，任何人都有权利提出抚养权申请，并且根据法律规定，法院会在最大限度保护儿童利益的基础上综合考虑亲属关系、婚姻生活、鲜明的行为举止等诸多因素作出判决。如果上门女婿想申请抚养权，他需要遵守相关申请程序，并且提交申请需提供充足的证据，以便法院作出决定时进行综合权衡。
总的来说，虽然上门女婿在法律上没有特殊的权利来争取抚养权，但是只要符合法律程序和条件，他依然可以在合法范围内提出申请，并有可能获得抚养权。无论如何，无论谁申请抚养权，法院都会以保护儿童利益为出发点，做出适当的判决。
