在法律上，抚养权是指一方父母或监护人以合法渠道代表未成年子女进行抚养的权力和义务。在儿童抚养的问题上，姓氏也是一个非常重要的问题，因为姓氏不仅关系到子女的身份认同，也关系到与父母之间亲子血统的认定。那么，抚养权给谁可以跟谁姓呢？
首先，需要明确的是，每个国家和地区对于姓氏法律的规定是不一样的。例如，在中国大陆地区，婚姻登记时夫妻双方可以选择采用一个姓氏或者两个姓氏加以组合，对于子女的姓氏，可以采用父亲或母亲的姓氏，也可以采用父母双方的姓氏组合。而在其他一些国家，例如日本，传统上将姓氏传承给儿子，而女儿则会嫁人后改为丈夫的姓氏。
在确定抚养权归属后，一般而言，子女的姓氏应该保持不变。这也是为了维护子女的身份认同和个人权利。然而，在特殊情况下，可以对姓氏进行修改或变更，但需要获取相关的法律批准和程序。
例如，在离婚案件中，如果抚养权被判给母亲，而母亲重新嫁人后，她可以申请让孩子跟着新丈夫姓氏。但在这种情况下，必须得到生物父亲的同意并且经过法律程序才能实现。
同时，如果生物父母之间达成协议，同意改变子女的姓氏，那么也可以进行修改。例如，在一些离婚案件中，如果双方已经达成协议，并确定了子女的监护权和抚养权，更换孩子姓氏的问题也可以在协议中进行规定。
综上所述，抚养权给谁跟谁姓是需要根据各国和地区的法律规定进行判断的。一般而言，子女的姓氏应该保持不变，除非在特殊情况下才能进行修改。同时，进行修改前需要获得法律审查和程序的批准。
