婚外生子抚养权的归属问题，一般需要根据法律规定和具体案件情况来作出处理，以下是一些可能的情况：
1. 双方没结婚，孩子的抚养权一般由生母或生父独自或共同决定。此时，如果生母拒不履行抚养义务，生父可以向法院申请抚养权，但需要证明自己是孩子的生物父亲。
2. 双方已结婚，但孩子是婚外生子。根据我国婚姻法规定，这种情况下，生父和生母都有抚养孩子的权利和义务。但是，如果生母与孩子生活稳定，生父申请抚养权的成功率会较低。
3. 双方已经离婚，孩子是离婚前婚外生子。如果离婚协议中有约定孩子的抚养权问题，双方应当按照协议执行；如果没有约定，双方可以协商解决，如未能协商，可以向法院申请涉及孩子抚养问题的离婚诉讼。法院会根据孩子的最大利益原则来判决抚养权归属。
4. 双方已经离婚，但在婚姻关系存续期间，生了婚外子女。法律规定，如果生父和生母没有达成协议，孩子的抚养权往往会判给生母，但是，生父可以要求承担抚养费用。
综上所述，婚外生子抚养权的归属问题，主要根据法律规定和具体案件情况来作出处理，需要根据不同的情况采取相应的措施来解决。
