如果在离婚过程中双方对子女的抚养权存在争议，一方申请法院变更抚养权，需要提交相关申请材料，包括变更抚养权的理由和证据。一般情况下，申请人需要提供关于子女抚养与教育的能力、情况、意愿等方面的证据，以及对现有抚养权的不足之处的陈述和分析。
法院会依据《中华人民共和国婚姻法》以及《未成年人保护法》相关规定，考虑到子女的最佳利益，进行综合评估和裁决。具体而言，法院会考虑以下因素：
1.子女的年龄、性别、健康状况、生活习惯、学习情况等方面的情况；
2.父母双方的抚养能力、时间、精力等方面的情况；
3.双方的工作、收入、居住环境等方面的情况；
4.子女与父母的感情关系等方面的情况；
5.其他有关子女抚养的情况和因素。
如果法院判决变更抚养权，对原抚养人和被抚养人的义务、权利等也会进行相应的调整。在变更抚养权后，原抚养人和被抚养人应当尊重法院的判决，切实履行抚养义务，为子女的健康、成长和发展创造良好的家庭环境和条件。
