法院起诉抚养权不需要支付任何费用。一般情况下，法院会根据案情和代理律师的要求来决定是否需要收取一些相关的调查、取证、诉讼等费用。但对于抚养权的起诉，这些费用通常都不需要支付。
然而，如果在抚养权案件中需要进行一些额外的调查或取证，如进行DNA检测或聘请专家证人做证等，这些费用就可能需要由诉讼的一方或双方共同承担。同时，在一些特殊情况下，如涉及到较为复杂的抚养权纠纷或涉及到财产的分配等，就可能需要支付额外的诉讼费用。
总之，起诉抚养权并不需要支付额外的费用，但在案件处理过程中可能会产生一些额外的费用，这些费用需要根据具体情况作出解决。如果双方无法达成一致，法院会根据情况来做出决定。
