婚内出轨的私生子想要争夺抚养权，首先需要确定自己的父亲身份。如果父亲承认了私生子的存在，那么就可以进行相关的法律程序，申请抚养权。但如果父亲拒绝承认自己是私生子的父亲，那么就需要进行DNA鉴定，以证明父子关系。如果DNA鉴定确实证明了亲子关系，那么就可以申请抚养权。
在申请抚养权时，需要提供充分的证据，证明自己可以为孩子提供一个良好的成长环境，包括住房、教育和生活费用等方面的保障。同时，还需要考虑到孩子的意愿和利益，选择最有利于孩子成长的家庭。
司法部门会根据孩子的最佳利益来做出抚养权的决定，以保护孩子的权益。如果私生子的母亲没有能力照顾孩子，那么可以选择让父亲或其他亲属抚养孩子。如果父亲也没有能力抚养，那么可以选择寻找寄养家庭或在福利机构中寻找照顾孩子的人。
在争夺抚养权的过程中，需要耐心、理性地处理家庭关系，尽量避免对孩子造成心理和情感伤害。同时，还需要遵循法律程序，保护自己和孩子的权益，避免陷入不必要的纷争和争执中。
