原配在法律上是有权利争夺私生子的抚养权的。根据中国《婚姻法》的规定，离婚后子女的抚养权应当由父母共同承担，如果不能共同承担，则由法院根据实际情况判决哪一方具有抚养权。此时，原配可以通过向法院提起诉讼来争取私生子的抚养权。
在争夺私生子的抚养权时，原配可以通过以下途径来证明自己对孩子的关心和能力：
1. 提供与孩子有关的各种证据，包括照片、视频等证据。
2. 出示孩子的医疗证明和学习成绩等证明，证明自己能够对孩子的教育和培养起到积极的作用。
3. 提供与孩子有紧密联系的证人证言，包括家庭朋友、邻居、孩子的老师等。
4. 提供自己的经济状况证明，证明可以给孩子提供足够的生活和教育条件。
需要注意的是，争夺私生子的抚养权不仅要考虑到自己的权益，同时也要考虑到孩子的利益。因此，在争夺抚养权时，父母应当以孩子的利益为出发点，尽可能达成双方共同承担抚养职责的协议。如果真的无法达成协议，法院判决仍然应该以孩子的最大利益为优先考虑。
