这个问题的答案其实是，能和不能，具体情况而定。
首先，我们要明确一个概念，那就是抚养权是指与孩子的生活和成长有关的权利和义务，包括孩子的教育、健康和生活等方面。在我国，《婚姻法》规定，父母拥有共同的抚养权，但在离婚后则由法院根据孩子的具体情况判定抚养权归属。
那么，祖父母能否与母亲争抚养权呢？答案是可以的，但这需要具体分析具体情况。
首先，祖父母申请抚养孙子女，需要证明父母已经死亡、丧失抚养能力或者同意由祖父母抚养。如果孩子的生父母都健在，并且有抚养能力，那么祖父母想要争取抚养权是非常困难的。
其次，法院在判定抚养权时会以孩子的最大利益为出发点。如果祖父母在孩子的成长过程中能够提供更好的教育、照顾和生活环境，且符合法律规定的条件，那么他们有可能获得抚养权。
最后，需要注意的是，争夺抚养权是一件非常敏感的事情，需要考虑许多因素，如孩子的意愿、生活习惯、身心健康等等。因此，如果出现争夺抚养权的情况，强烈建议双方通过和平协商来解决，以确保孩子的最大利益。
