公证抚养权的变更通常需要满足以下条件：
1. 变更必须是出于孩子最大的利益考虑，例如父母有意愿共同抚养孩子，但是有一个父母可能需要搬到其他城市去工作，这个时候就需要变更抚养权。
2. 引起变更的原因必须是有充分证据证明的。例如，父母有纷争导致抚养权纠纷产生的，证据可以是法院裁决、警方介入的情况，还可以通过家庭调解达成协议。
3. 变更前必须通过公证程序达成协议，这样可以确保变更的合法性和证据的可靠性。
4. 变更协议如果涉及到财产分配，还需要在公证当中履行分配公正程序。
变更抚养权需要在武汉市民政局公证处办理，办理手续如下：
1. 准备必要材料：身份证、户口簿、抚养协议书、公证申请书等。
2. 到武汉市民政局公证处办理公证手续。由于抚养权变更是涉及到孩子的权益问题，因此公证处工作人员需要仔细审查各项材料，确保协议达成的真实性，涉及到各方权益的合法性，双方的意愿是否真实想要达成这项变更。
3. 在公证处签字盖章并交纳相关费用。根据公证处的收费标准，平均费用在200-500元之间，费用具体需要根据公证任务的难易程度、材料的多少而定。
4. 等待公证处出具变更证明。公证完成后，公证处会开出变更证明表明抚养权变更已经完成。
总的来说，变更抚养权需要满足一定的条件和程序，可以在武汉市民政局公证处进行办理，办理时需要仔细准备材料和交纳相关费用。
