在我国法律中，抚养权是一个非常重要的概念。抚养权是由一个孩子的父母行使的，他们应该为孩子提供关爱、教育、医疗保健和其他必要的事物。在婚后私生子的情况下，双方都可以争取抚养权，但是要看具体情况。
首先，需要明确的是，“私生子”不等于“非法子女”。法律上只有“子女”，无论这个孩子是在婚前还是婚后出生。如果该孩子的父母离婚或分居，他们应该根据孩子的最大利益和福利，达成关于抚养权和探视权的协议。
在离婚或分居期间，抚养权的争夺通常是针对孩子的生活和教育所进行的。如果一方可以证明自己更适合照顾孩子，那么他或她就有可能获得抚养权。但是，如果母亲被证明是一个不负责任的父母，比如长期离开孩子、没有工作或不愿意为孩子提供适合的生活条件，那么她可能会失去孩子的抚养权。
除了父母外，孩子的祖父母和其他近亲也有可能争取抚养权。如果孩子的父亲和母亲都无法承担抚养孩子的责任，那么亲属们就可以提出申请争取抚养权。但是，申请人必须证明他们提供孩子的条件比父母更好。
总的来说，无论是婚内还是婚后私生子，抚养权都是一个复杂的问题。最终的决定应该以孩子的最大利益和福祉为准。所有当事人都应该尽力为孩子提供最好的条件。
