抚养权是指孩子的生活、教育、健康等方面的权利。如果父母离婚后，抚养权由一方行使，而另一方拒绝履行，将会面临一定的法律责任。在这种情况下，如果拒不执行抚养权，可以被追究刑事责任。
根据《中华人民共和国刑法》规定，拒绝履行法院认定的抚养义务，影响未成年子女身心健康成长的，将会受到处罚。一旦被定罪，其最高可面临三年以下有期徒刑、拘役或罚金的处罚。
除了刑事责任，还有民事责任。一方拒绝履行抚养权的，可以被对方向法院提起民事诉讼，索要经济赔偿和抚养责任。如果对方仍然不履行，可能会受到行政处罚，例如处以罚款或其他管理措施。
总之，抚养权拒不执行是一种违法行为，将导致法律责任的追究。无论是刑事还是民事责任，都会给当事人带来不可估量的经济和社会代价。因此，双方应在离婚协议中明确约定抚养责任，避免未来的矛盾和纠纷。如果存在争议，应及时向有关机构申请仲裁或起诉。这样可以维护双方的合法权益，保障孩子的正常成长。
