一般而言，孩子抚养权的费用应由父母双方共同承担。如果一方单方面提起起诉，他/她必须承担诉讼费用。但是，在具体实践中，费用分担的具体安排还需要根据双方的经济状况和相关法律规定进行具体分析。
首先，根据我国《婚姻法》相关规定，父母双方在离婚后都有抚养权和监护权，应该共同承担子女的抚养费用。如果孩子被一方照顾抚养，那么对方还应负责支付抚养费用、赡养费用和医疗费用等其他费用。
其次，如果离婚的双方无法协商解决问题，一方需要提起诉讼请求，那么按照中国法律规定，各种民事纠纷案件，起诉人应负担诉讼费用，无论胜败。但是，如果起诉人胜诉，诉讼费可以由被告承担。
最后，在实际操作中，法院会结合双方的经济状况、收入水平、资产负债情况等因素，综合考虑对双方进行合理的费用分摊。如果双方都有收入，那么他们应该在协商过程中确定具体分担费用的比例。如果其中一方没有收入，那么另一个父母负担的费用会偏高一些。
综上所述，孩子抚养权的费用分摊应该由双方父母共同承担，但具体分摊方式需要根据双方经济状况和法律规定进行具体分析。
