美国抚养权会出现弃养的情况，但是并不常见，并且也受到法律的监管和惩罚。
首先，需要明确的是，“抚养权”不等同于“监护权”。抚养权指的是孩子居住在哪个家庭，由哪个家庭提供日常的生活照料和经济支持。而监护权则是指父母对孩子的监管权力。因此，抚养权并不意味着父母可以随意放弃对孩子的照顾和抚养。
然而，仍有极少数父母会选择放弃抚养孩子，这可能是因为精神健康问题、财务困难、药物滥用等原因。在这种情况下，如果有监护权的父母放弃抚养，另一方可以申请获得抚养权，或者孩子可以从亲属或寄养家庭获得抚养。
除此之外，美国的法律对于弃养孩子的行为进行了严格的惩罚。例如，父母可能会面临罚款、监禁或剥夺监护权的处罚。同时，美国的法律鼓励父母或监护人尽可能地保障孩子的利益和安全，并确保他们得到必要的生活照料和教育。
总的来说，美国抚养权的法律制度和惩罚措施可以有效地遏制父母弃养孩子的情况。但是，在个别极端情况下，一些父母可能会做出不负责任的决定。这时，社会和政府部门需要积极介入，确保孩子的权益得到保障，并帮助他们寻找合适的家庭。
