代养期间，代养人承担了代养宠物的所有责任，因此似乎该有抚养权。但是，在法律上，抚养权是指合法监护人对未成年子女行使的权利和义务，而宠物并不属于这一范畴。
一般情况下，宠物在法律上被视为个人财产，其所有权和抚养权属于宠物主人。因此，在代养协议中应该明确规定代养人只能承担宠物的饲养、照顾等责任，不能在没有主人许可的情况下擅自处理宠物事务。
同时，代养人在代养期间发生的任何问题都需要及时通知主人，如发现宠物生病、失踪、受伤等情况，代养人应立即通知主人并征得其同意采取相应措施。
综上，虽然代养人在代养期间负责照顾宠物，但抚养权并不属于其范围。代养人需要依照合同约定，保证宠物的健康、安全和幸福，并在与主人协商一致的基础上采取相应措施。
