盐城市民可以在当地妇女儿童保护中心办理抚养权的相关手续。具体流程如下：
1. 提交申请：父母双方或者监护人可以向当地妇女儿童保护中心提交抚养权申请。申请时需要提供身份证明、户口簿等身份证明文件以及相关的证据材料。
2. 审核申请：妇女儿童保护中心会对申请人申请的事项进行审核。审核包括对申请人的身份资料的核实以及对申请人所提供的证据材料的审查。
3. 调解协商：如果双方有争议，妇女儿童保护中心会组织双方进行协商和调解，相互达成一致。
4. 起诉司法程序：如果调解未果，申请人可以选择通过司法途径解决争议。这时需要向人民法院提起诉讼，由法院依据法律规定对抚养权进行判决。
总之，盐城市居民要办理抚养权需要先到当地妇女儿童保护中心提交申请，中心会在审核和调解后，进行必要的司法程序来解决争议。申请人需要准备好申请资料和相关证明材料，并根据程序和法规进行操作。
