起诉抚养权的一方可以在诉讼过程中撤销起诉，但是否可以撤诉要看具体情况。如果原告想撤诉，需要在法院规定的时间内提交书面申请，被告同意后即可撤诉。但如果被告不同意撤诉，或者法院认为涉案利益重大，可能会要求双方在审判结束前进行调解或者裁判。
如果原告撤诉成功，诉讼程序将终止，否则仍需继续审理。需要注意的是，如果原告再次提起起诉，可能因曾经撤诉而导致起诉失败，另外撤诉的实际诉讼成本还是很高的，这种情况下应该越早越好的避免。因此，在起诉抚养权时，双方应该慎重考虑，在听取律师意见的基础上做出决定，尽量避免一次又一次的撤诉。
