当一方不执行其被授予的抚养权时，裁判文书中通常会规定罚款条款，以确保该方履行义务。罚款可以是经济惩罚的形式，也可以作为一种强制措施来确保抚养责任的执行。
在法律上，一方不执行其抚养权可以被视为违反法律义务，这可能导致法律后果。如果父母的离婚协议中包含抚养协议，则一方不执行抚养权可能会被认为是协议违反，对方可以申请修改协议并申请强制执行。
如果没有协议，当一方未执行抚养权时，对方可以向法院申请执行遗失物也可以申请罚款等措施。法院可以下令罚款，该罚款可能根据具体情况而有所不同，通常可以根据违反协议的持续时间和具体情况来确定。
在某些情况下，法院可能会采取更严厉的强制措施来确保抚养义务的执行。例如，法院可能会命令抚养方支付所有应支付的支出，或对抚养方进行惩罚性罚款，如强制销售其房产或车辆等来支付抚养支出。
总之，一方如果不执行其抚养权则会面临种种法律后果。罚款是其中一种常见的惩罚方式，但法院可能会采取其他强制措施来确保抚养义务的执行。因此，各方应该遵守法定规定，履行自己的法律义务，以确保孩子的健康成长。
