如果一个家庭中的父亲出轨了，这对于一些母亲而言是非常震撼和痛苦的。在这种情况下，母亲们不仅要处理自己的情感和心理问题，还要面对孩子们的教养和抚养问题。在这种情况下，母亲们可以采取一些法定措施来保护孩子们的权利。
首先，母亲可以去律师那里咨询，了解法律规定。然后，可以依据婚姻法的规定，向法院提出离婚诉讼，并要求抚养权。根据《中华人民共和国婚姻法》第48条的规定，孩子的抚养权应该由父母共同行使。但是如果父亲出轨严重损害了孩子的利益，母亲可以向法院请求单独行使抚养权。
在法院审理抚养权案件时，法院将会考虑多个因素，例如孩子的年龄、性别和健康状况、父母的经济状况和身体状况、孩子的教育和生活环境等等。如果母亲能够证明她有足够的能力来照顾孩子，或者父亲的不良行为将孩子置于危险之中，法院可能会判决抚养权归母亲所有。
但需要特别注意的是，法院并不是一定会判定单独抚养权归母亲所有，毕竟法院更加注重孩子的利益最大化。因此，在离婚诉讼中，父亲可以通过说服法院挽回自己的名誉，以及现实生活中对孩子生活和教育做出努力，来争取更多的抚养权和探望权。
总之，母亲可以通过离婚诉讼来争取抚养权，但判定结果需要考虑孩子的利益和父亲的情况。父亲在出轨之后，应该展示自己的努力，争取更多的探望权和抚养权，并通过自己实际行动来挽回婚姻关系。
