一般情况下，拆迁协议的签订时间并不能直接影响到诉讼期的开始时间。因为在拆迁过程中，签订拆迁协议的过程属于行政程序的一部分，而诉讼期主要是在行政程序结束后，开始进行的司法救济程序。
在拆迁过程中，如果居民方和拆迁机构能够和平协商并达成一致，签订拆迁协议，则可以避免发生争议，减少不必要的诉讼。但如果双方无法达成一致，无法签订拆迁协议，拆迁机构也无法依法拆迁时，居民可以通过诉讼途径进行维权，维护自己的合法权益。
既然拆迁协议签订时间与诉讼期并无直接关系，那么在实际操作中，如何确定诉讼期的开始时间呢？根据《行政诉讼法》第二十四条规定，行政机关作出具体行政行为之日起六十日内，当事人可以向人民法院提起诉讼。因此，行政行为的发生和最后的通知时间是诉讼期的关键要素，而具体行政行为包括拆迁通知、强制拆除等，这些行为的发生时间是最终确定诉讼期开始的关键因素，与拆迁协议签订时间没有必然联系。
总之，对于拆迁相关的诉讼事项，更重要的是保护居民的合法权益，尽可能避免非必要的诉讼，让双方通过和平协商解决争议，达成公平、合理的解决方案。只有这样，才能实现拆迁工作的正常进行，同时保障居民的合法权益。
