根据我国《婚姻法》规定，夫妻在婚姻关系存续期间所生育的子女，父母共同行使监护职责，对子女进行抚养、教育和保护。但是，对于一些特殊情况，如婚姻出现严重矛盾，夫妻一方出轨生育私生子等情况，则需要根据具体情况作出判决。
如果夫妻关系破裂，并且出现其中一方通奸所生的私生子，那么一般情况下夫妻双方都可以以抚养权为由进行争夺。如果法院判定私生子的母亲为其法定监护人，那么抚养权通常会判给私生子的母亲，而非其父亲。母亲是自然监护人，她可以自行照顾私生子，也可以通过法院的判决获得监护权。如果私生子的母亲没有能力抚养孩子，或者私生子父亲能够提供更好的抚养条件，法院也可能向私生子父亲判决抚养权。
总之，根据《婚姻法》的规定和司法实践，私生子的抚养权并不是由出生时的婚姻关系决定的，而是需要根据具体情况进行认定和判决。因此，在解决私生子抚养权问题时，需要根据实际情况进行审查，尊重私生子的权益，同时兼顾各方利益，达到一个平衡并公正的结果。
