收养关系一旦建立，收养父母即成为孩子的合法监护人，拥有抚养权。抚养权是指在家庭环境中对孩子的生活、学习、饮食、健康等方面进行照顾和管理的一种权利和义务。
在收养过程中，收养人与被收养人之间形成了亲密关系，并且收养人承担了监护和抚养的职责，承担起了被收养人的养育义务，所以收养人拥有与孩子一样的抚养权。收养人有权决定孩子的居所、学校、医疗等方面的问题，并对孩子的行为、学习等方面进行监督和指导。
此外，在收养人与原有父母之间发生的争执中，收养人优先享有抚养权。因为在收养关系中，收养人拥有法律上对孩子的监护权和抚养权，而孩子原有的亲生父母在这方面的权利和义务将相应削弱。
因此，收养关系确立后，收养人拥有与孩子同等权利和义务，包括抚养权。在孩子成长的过程中，收养人应该履行好法定监护人的职责，保障孩子的身心健康，为孩子的成长提供必要的生活条件和支持。
