在中国的法律制度下，继母是有抚养责任的。但是，是否有抚养权，则需要具体情况进行分析。一般来说，只有在以下几种情况下，继母才有对儿子的抚养权：
1. 原生母亲去世或失踪，继父与继母结婚后，儿子由继母抚养。
2. 原生母亲因为一些原因无法履行抚养义务，或者放弃了抚养权，继父与继母结婚后，儿子由继母抚养。
3. 原生母亲死亡或离开，继父与继母结婚后，儿子有意愿由继母抚养。
在这些情况下，继母需要经过法律程序来获得抚养权。如果没有经过法律程序，继母只是对儿子的监护人，没有抚养权。
需要注意的是，无论是原生母亲还是继母，对于儿子的抚养都是一项严肃的责任。母亲应该为儿子提供合适的生活条件、健康的生活方式以及全面的教育，使他们成为独立、有责任感的人。同时，父亲也需要提供必要的经济支持。只有这样，才能够保证孩子的良好成长和发展。
