根据我了解的法律情况，后爹是不具备起诉子女抚养权的权利的。
首先，在民法婚姻家庭法中，规定了子女的抚养权应由父母依法行使。在离婚后，法律也规定了子女的抚养权应由离婚后父母共同行使，而离婚协议双方无法达成一致时，就由法院根据子女的最佳利益来决定抚养权归属。
其次，即使后爹在孩子的成长过程中对孩子有很大的贡献，但在法律上，他并不具备与生母拥有同等的抚养权的权利。因为法律将抚养权给予了生父、生母，这是基于亲属关系的法定原则。后爹是非生物学上的家庭成员，他的行为只能依赖于生母的意愿，无法抵消生母对于孩子的基本抚养义务。
最后，在司法实践中，我国的法院通常不会支持后爹针对生母的抚养权问题发起诉讼。因为如果法院支持后爹的起诉，那么就会直接否定生母的抚养权，这与法律规定的抚养权归属原则不符。此外，如果生母与后爹发生争论，法院也会要求双方协商、沟通、化解分歧，并优先考虑孩子的最佳利益，而不会单纯地判决抚养权归属。
因此，总体来说，后爹是没有权利起诉子女抚养权的。如果后爹想要对孩子产生更多的影响和参与，最好的方式是与生母协商一致，共同制定抚养方针，以达到最佳的抚养效果。
