可以。未结婚的父母同样可以打抚养权官司，因为法律上规定了未婚父母和已婚父母一样有权利对自己的孩子进行监护和抚养。只要孩子处于父母的监护范围内，父母就有权力为孩子争取抚养权。
未婚父母之间的抚养权官司会比较复杂，因为没有以婚姻为证明的关系。在这种情况下，法庭通常会寻求其他形式的证据来确定孩子的生物父亲并决定抚养权。例如，可以通过DNA测试来证明生物父亲是谁，进而影响抚养权的判定。
无论父母结婚与否，法院在决定抚养权时始终会把孩子的利益放在第一位。因此，父母必须证明自己有能力为孩子提供最好的生活环境、学习环境和健康环境。除此之外，他们还需证明自己可以时刻保护孩子的利益和权益，包括经济上、情感上和关心上的支持。
总之，未结婚的父母一样可以打抚养权官司，但需要提供充分的证据，以证明自己适合为孩子提供最好的生活、学习和发展环境。
