未婚生子打官司有抚养权的问题，需要看具体情况而定。在我国法律中，未婚生子和婚生子的法定义务是相同的，都享有双亲的抚养权和监护权。如果孩子的父母分开或离婚，父母都可以申请抚养权。但是，未婚生子的抚养权可能会面临一些特殊情况。
首先要注意的是，如果孩子的父母没有签订任何形式的监护协议或认子协议，那么在法律上，儿童默认由其生母抚养。但孩子的生父也可以通过法律途径来争取抚养权，并且如果有证据证明生父有能力抚养孩子，那么生父争取抚养权的机会就会增加。
其次，从宪法保障的儿童权利角度出发，无论是婚生子还是未婚生子，children's best interests应该被放在首位。法院在判定抚养权时，会考虑哪一方最有条件、能力、精力照顾孩子，并且会相信孩子的母亲总是最适合抚养孩子的人。但如果生父能够证明其有足够的能力和意愿，为孩子提供更好的生活和教育环境，法院也会考虑将抚养权判给生父的可能性。
除此之外，有些地区的相关法律可能对未婚生子的抚养权保护更加严格。例如某些地区会规定，无论是婚生子还是未婚生子，都必须进行DNA测试来确认生父身份。在这种情况下，如果生父被确认，那么他将拥有更高的权利来申请抚养权。
总之，未婚生子打官司有抚养权，但这需要根据具体情况进行判断。如果生父想要争取抚养权，他需要证明自己完全有能力照顾孩子，而且要没有严重过错。如果孩子的生母具有更好的能力和意愿，那么法院很可能会维持孩子的抚养权由生母行使。
