当双方父母在离婚后协商达成一致的抚养权变更协议时，他们需要前往当地司法部门进行变更的法律手续。
首先，他们需要准备好相应的文件，包括旧的抚养权协议、新的协议、离婚协议和各自的身份证明文件等。
其次，他们需要前往当地的民政局或婚姻登记处进行申请，在申请过程中需要将准备好的文件交给相关的工作人员，并填写相关的表格和申请材料。一般来说，双方前往办理申请时需携带各自的身份证件，以保证如实申报且方便办理。
最后，他们需要等待相关机构处理申请，审查文件，并审核新的抚养权变更协议是否满足相关法律法规的要求。一旦通过审核，双方可以按照新的协议来履行抚养义务。
需要注意的是，双方在变更抚养权协议时，必须尽可能通过协商和沟通达成一致，以保障孩子的福利。另外，在变更抚养权后，仍然需要按照新的协议来履行抚养义务，如有不履行的情况，将会受到相关法律的惩处。
