在中国法律中，未婚生育的情况属于非婚生子女，该情况下，子女的抚养权应当根据法律规定，由生母行使。因此，在未婚生育情况下，母亲享有子女的抚养权，而且不需要举证。
在未婚生育情况下，父亲没有行使抚养权的权利。但是，如果父亲认为母亲不适合行使抚养权，或者母亲自己不能行使抚养权，父亲可以向法院申请抚养权。此时，父亲需要通过举证来证明母亲无法行使抚养权或者不适合行使抚养权。
此外，根据《中华人民共和国婚姻法》的规定，父母双方应当共同抚养子女。如果父母双方都有能力行使抚养权，可以共同行使。在这种情况下，父母双方都需要举证证明自己有能力行使抚养权。
总之，在未婚生育情况下，母亲享有子女的抚养权，不需要举证。而在其他情况下，如父母双方共同行使抚养权或者父亲申请抚养权的情况下，需要举证来证明自己有能力行使抚养权。
