是的，家庭法庭可以确认和授予抚养权，并解决抚养权争议。抚养权是指父母或监护人负担照顾和教养孩子的权利和责任。在家庭法庭，父母或监护人可以提起申请以确认或变更抚养权。
在确定抚养权时，法庭将考虑多种因素，例如孩子的健康、安全、监护人照顾能力、孩子与家庭成员的感情关系以及家庭环境等。法庭的首要关注点是孩子的利益和福祉。
在诉讼程序中，双方可以提供证据来证明自己对孩子的最佳照顾能力，例如亲子关系、监护能力、生活稳定性、财务能力等。法庭将考虑所有证据，最终做出有利于孩子的裁决。
需要注意的是，申请确认或变更抚养权是一个复杂和费时的过程，需要专业的法律知识和经验。因此，建议请一个有经验的家庭律师代表您在这个过程中提供法律建议和支持。
