如果父母处于婚姻关系中，抚养权通常会由法庭决定。在此情况下，如果母亲获得了孩子的抚养权，她可以向法庭申请改变孩子的姓名。
首先，母亲应该确定要更改孩子的姓名。这通常是因为母亲想要孩子更接近她自己的家庭，或者是因为孩子的生物父亲不再与孩子有联系，导致孩子与他的姓名没有联系。母亲需要准备所有必要的文件和证明，以向法庭证明这个改名请求是合理的和必要的。这些文件包括：
1. 孩子的出生证明
2. 孩子的身份证
3. 母亲的身份证和抚养权决定
4. 孩子的父亲是否签署同意更改姓名的声明（如果父亲不同意，母亲需要向法庭证明为什么更改姓名是必要的）
5. 其他任何证明或文件，以证明更改姓名的必要性或适当性。
母亲需要向当地法院提交这些文件。一旦文件被接受，母亲需要等待法庭审理。在此期间，法官会听取母亲的理由和证据，并决定是否批准更改姓名。如果母亲被授予抚养权，通常情况下请求更改孩子的姓名会被批准，但是法官需要确保更改姓名不会对孩子造成不必要的困扰或冲突，因此要慎重考虑。
如果法庭批准母亲的更改请求，那么母亲需要按照相应的程序将孩子的姓名更改在所有法律文书中，如护照、学校文件、医疗保险、社交安全、选民登记等。这个过程需要一定的时间和精力，但对于母亲来说是非常有意义的，因为这有助于孩子更接近母亲的家庭，同时也有利于母亲更好地照顾孩子的成长。
