抚养权是指未成年子女在父母离异或丧偶的情况下，由哪一方来照顾、抚养。一般情况下，抚养权归亲生父母所有，但如果父母有不良行为、无能力照顾子女等行为存在，家庭法院可以决定将抚养权交给其他人，如亲属、收养人、福利机构等。因此，答案是有可能的。
虽然年龄并不是判断抚养权的唯一标准，但设想一下，如果一位老人健康状况较好、生活积蓄充足、有较好的意愿和能力照顾未成年子女，那么家庭法院可能会考虑其亲属身份，决定将抚养权交给他。但这需要具体的个案证明和司法判断。
此外，老年人在照顾孙辈方面发挥着重要作用。如果父母无法履行抚养职责，家庭法院也可能会考虑将孙子女送到老年人处，由其照顾和抚养。在这种情况下，老年人虽然没有“抚养权”，但仍然能够承担起照顾和抚养未成年子女的责任。
总之，是否有抚养权，并没有年龄限制。但是年龄不同，身体和精神条件也不同，法院会依据个体情况做出最合适的决定。老年人要想获得抚养权或者照顾未成年子女，需要仔细地评估自身身体和精神状况，与家庭法院进行合理的沟通，以确保未成年子女得到最好的照顾和抚养环境。
