十堰市是湖北省地级市之一，在该市寻找一名专业处理抚养权事务的律师，可以考虑以下因素：
1. 律师资质：在选择律师时，需了解其是否有专业的律师执业证书和从业资格，这是衡量律师是否有相应的法律素养和经验的重要标志。
2. 律师口碑：口碑是衡量一名律师质量的重要标准，可以通过网上查询该律师的评价或者通过其他人的推荐来了解律师的业务能力和信誉。
3. 律师经验：处理抚养权事务需要很高的专业知识和经验，因此选择一名经验丰富的律师是明智的选择。
4. 律师服务：一名优秀的律师应该能够为客户解决法律难题，同时提供个性化的法律服务，在选律师时应该看律师是否有热情、耐心、细致的服务态度。
总的来说，选择一名处理抚养权事务的律师需要综合考虑律师的资质、口碑、经验和服务态度等，同时，需要根据个人的情况和需求选择最合适的律师。
