当申请孩子抚养权的一方对于法院的判决不满意并认为自己的合法权益受到了损害，可以在一定时间内向上级法院上诉。在中国，根据刑事诉讼法和民事诉讼法，一般上诉管辖是由二级法院管辖。
如果双方争议涉及子女抚养权，可以向市级人民法院提起起诉，根据案件的性质和实际情况，市级人民法院会进行一审判决。如果一方对于一审判决不满意，可以在十五日内提起上诉，并将上诉书递交给市级人民法院。市级人民法院会将上诉书和案卷移交给上级法院进行二审。
如果是在省级人民法院进行的一审判决，上诉管辖的法院是高级人民法院或者最高人民法院。如果不确定应该向哪个法院上诉，可以咨询当地的法律援助机构或者律师事务所，获取更准确的指导。
总之，申请孩子抚养权的一方如果对于法院的判决不满意，可以在规定的时间内向上级法院上诉，以保障自己的合法权益。
