当父母变更孩子的抚养权时，孩子的姓名是否会改变是由法律规定的。根据我国婚姻法和民法总则的规定，孩子的姓名应当由父母协商一致确定，独立选择的权利归属于未成年的子女。因此，如果变更了抚养权，父母可以协商决定孩子的姓名是否也随之改变。
在实际操作中，如果父母在协商中达成了一致意见，可以通过公证或法院判决来确定孩子的姓名变更。如果父母无法协商一致，法院将进行调解或者判决，以保障孩子的利益为基础考虑。
同时，改变孩子的姓氏也需要考虑法律规定和孩子的权益。我国婚姻法明确规定，夫妻可以选择合并姓氏或者姓氏中的某个字为子女的姓氏。如果父母在协商中达成了一致意见，可以在公证或法院判决中确定。如果父母无法协商一致，法院将进行调解或者判决，以保障孩子的利益为基础考虑。
总之，变更抚养权后孩子的姓氏是否会一起改变，取决于父母的协商一致和法律规定。这其中最重要的是以孩子的利益为出发点，尽可能保障孩子的权益和福利。
