福清市民可以在福清市妇女儿童维权服务中心办理抚养权。该中心是福清市妇女联合会下属机构，是为维护妇女儿童合法权益，促进妇女儿童发展而设立的维权服务机构。
在福清市妇女儿童维权服务中心，可以进行以下抚养权相关的服务：
1. 咨询抚养权：如果您有抚养权的相关问题，可以前往福清市妇女儿童维权服务中心进行咨询，咨询服务是免费的。
2. 受理抚养权申请：如果您需要申请抚养权，可以在福清市妇女儿童维权服务中心提交申请材料。
3. 协助制定抚养协议：如果离婚双方协商达成一致意见，可以在福清市妇女儿童维权服务中心协助制定抚养协议。
4. 为需要帮助的儿童提供法律援助：如果有需要帮助的儿童需要法律援助，福清市妇女儿童维权服务中心可以为其提供相关的帮助。
福清市妇女儿童维权服务中心的具体地址：福清市东张镇康乐路12号（康乐园对面）。联系电话：0591-85316915。
总之，福清市妇女儿童维权服务中心可以为福清市民提供多种抚养权相关的服务，方便市民办理相关手续，也可以为市民解答疑问。
