根据我国《中华人民共和国民事诉讼法》规定，诉讼双方一方败诉应当支付另一方的合理诉讼费用，包括律师费用。因此，日照市抚养权案的律师费用应由败诉方承担。具体费用取决于律师事务所的收费标准和诉讼案件的复杂程度。
通常情况下，律师费用分为按小时计费和按比例计费两种方式。按小时计费是指律师根据案情和工作量计算出每个小时的费用，最终将律师在整个诉讼过程中的工作时间相加，得到总的律师费用。按比例计费则是根据案件争议金额计算出律师费用，通常是按照一定比例（如3%-5%）收取。
对于一般的抚养权诉讼案件来说，律师费用的收费标准比较灵活，常见的是按小时计费。一般来说，律师费用在200-500元/小时之间。如果是复杂的抚养权案件，可能需要投入更多的时间和精力，对应的律师费用也会更高。
综上所述，日照市抚养权案的律师费用应不少于200-500元/小时。具体费用还需结合律师事务所的收费标准及实际情况综合考虑。
